Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika
1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga 
Permutasi k unsur dari n unsur 
adalah
semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n
unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis 
atau 
.
2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan , 
Contoh :
Diketahui himpunan 
.
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
Peluang Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
Contoh:2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peluang Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan :
dibaca “ Kejadian A atau B dan 
dibaca “Kejadian A dan B”Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :
2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku
Jika 
. Sehingga 
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika
adalah peluang terjadinya A dan B, maka 
Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:
.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri
SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Bila A; {2,3,4,5} dan B: {p,q,r,st}, maka banyak unsur dari A X B adalah...
=> nA: 4
nB: 5
A X B = 4 X 5 = 20 unsur
2. Banyak susunan huruf yang mungkin dibentuk dari kata "SUKINO" apabila huruf pertama dimulai dengan huruf vokal adalah...
=> huruf vokal yang terdapat : 3 huruf
S U K I N O
3 5 4 3 2 1
3 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 240 cara
3. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari angka 4,5 dan 8 apabila ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=> Puluhan : 3 huruf (4,5,8)
satuan : 3 huruf (4,5,8)
Puluhan X Satuan = 3 x 3 = 9
4. Kota A dan B dengan cara 3 jalan, kota B dan C dengan 2 jalan, sedangkan kota C dan D dengan 4 jalan. Banyaknya rute kota A ke D adalah...
=> A -> D = A-> B X B->C X C->D
3 . 2 . 4
24 rute
5. Banyaknya yang dapat disusun oleh 0,1,2,3,4,5,6,7 yang terdiri atas 4 angka adalah...
Ribuan
|
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
7
|
8
|
8
|
8
|
6. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari 4,5,8 apabila tidak ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=>
Puluhan
|
Satuan
|
3
|
2
|
7. Diberikan setumpukan angka 0,1,2,3,4,5. Banyak plat nomor polisi
kendaraan yang dapat dibuat atas 3 angka dan boleh ada angka yang
berulang adalah...
=>
Ratusan x puluhan x satuan = 6 x 6 x 6 = 216 plat nomor
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
6
|
6
|
6
|
8. Dari angka 3,5,6,7 dibuat bilangan yang terdiri dari atas 3 angka berbeda. Diantara bilangan itu yang <400 ada sebanyak...
=>
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
1
|
3
|
2
|
9. Dari angka 1,2,3,4,5 akan dibuat bilangan <400 dan tidak ada yang berulang. Banyak bilangan tersebut adalah...
=>
Ratusan x puluhan x satuan = 3 x 4 x 3 = 36
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
3
|
4
|
3
|
10. Dari kota A ke kota B ada 4 bus,
B ke C ada 3 bus, seseorang berangkat dari A ke C melalui B kemudian
kembali ke A melalui B. saat kembal dari A ke B. ia tidak mau
menggunakan bus yang sama,maka banyak cara yang dilakukan orang itu
adalah....
=> A -> C = 4 X 3 = 12
C -> A = 3 X 2 = 6
Pulang pergi A -> C adalah 12 x 6 = 72
11. Delapan orang memperebutkan juara I,II,III,dan harapan. Banyak posisi juara yang dapat terjadi adalah...
=> 8 x 7 x 6 x 5 = 1680 posisi
=> nA: 4
nB: 5
A X B = 4 X 5 = 20 unsur
2. Banyak susunan huruf yang mungkin dibentuk dari kata "SUKINO" apabila huruf pertama dimulai dengan huruf vokal adalah...
=> huruf vokal yang terdapat : 3 huruf
S U K I N O
3 5 4 3 2 1
3 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 240 cara
3. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari angka 4,5 dan 8 apabila ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=> Puluhan : 3 huruf (4,5,8)
satuan : 3 huruf (4,5,8)
Puluhan X Satuan = 3 x 3 = 9
4. Kota A dan B dengan cara 3 jalan, kota B dan C dengan 2 jalan, sedangkan kota C dan D dengan 4 jalan. Banyaknya rute kota A ke D adalah...
=> A -> D = A-> B X B->C X C->D
3 . 2 . 4
24 rute
5. Banyaknya yang dapat disusun oleh 0,1,2,3,4,5,6,7 yang terdiri atas 4 angka adalah...
7 x 8 x 8 x 8 = 3584 angka
6. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari 4,5,8 apabila tidak ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=>
puluhan x satuan = 3 x 2 = 6
Ratusan x puluhan x satuan = 1 x 3 x 2 = 6
Soal dan Pembahasan Peluang kelas XI
1. Bila A; {2,3,4,5} dan B: {p,q,r,st}, maka banyak unsur dari A X B adalah...=> nA: 4
nB: 5
A X B = 4 X 5 = 20 unsur
2. Banyak susunan huruf yang mungkin dibentuk dari kata "SUKINO" apabila huruf pertama dimulai dengan huruf vokal adalah...
=> huruf vokal yang terdapat : 3 huruf
S U K I N O
3 5 4 3 2 1
3 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 240 cara
3. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari angka 4,5 dan 8 apabila ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=> Puluhan : 3 huruf (4,5,8)
satuan : 3 huruf (4,5,8)
Puluhan X Satuan = 3 x 3 = 9
4. Kota A dan B dengan cara 3 jalan, kota B dan C dengan 2 jalan, sedangkan kota C dan D dengan 4 jalan. Banyaknya rute kota A ke D adalah...
=> A -> D = A-> B X B->C X C->D
3 . 2 . 4
24 rute
5. Banyaknya yang dapat disusun oleh 0,1,2,3,4,5,6,7 yang terdiri atas 4 angka adalah...
Ribuan
|
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
7
|
8
|
8
|
8
|
6. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari 4,5,8 apabila tidak ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=>
Puluhan
|
Satuan
|
3
|
2
|
7. Diberikan setumpukan angka 0,1,2,3,4,5. Banyak plat nomor polisi
kendaraan yang dapat dibuat atas 3 angka dan boleh ada angka yang
berulang adalah...
=>
Ratusan x puluhan x satuan = 6 x 6 x 6 = 216 plat nomor
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
6
|
6
|
6
|
8. Dari angka 3,5,6,7 dibuat bilangan yang terdiri dari atas 3 angka berbeda. Diantara bilangan itu yang <400 ada sebanyak...
=>
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
1
|
3
|
2
|
9. Dari angka 1,2,3,4,5 akan dibuat bilangan <400 dan tidak ada yang berulang. Banyak bilangan tersebut adalah...
=>
Ratusan x puluhan x satuan = 3 x 4 x 3 = 36
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
3
|
4
|
3
|
10. Dari kota A ke kota B ada 4 bus,
B ke C ada 3 bus, seseorang berangkat dari A ke C melalui B kemudian
kembali ke A melalui B. saat kembal dari A ke B. ia tidak mau
menggunakan bus yang sama,maka banyak cara yang dilakukan orang itu
adalah....
=> A -> C = 4 X 3 = 12
C -> A = 3 X 2 = 6
Pulang pergi A -> C adalah 12 x 6 = 72
11. Delapan orang memperebutkan juara I,II,III,dan harapan. Banyak posisi juara yang dapat terjadi adalah...
=> 8 x 7 x 6 x 5 = 1680 posisi
=> nA: 4
nB: 5
A X B = 4 X 5 = 20 unsur
2. Banyak susunan huruf yang mungkin dibentuk dari kata "SUKINO" apabila huruf pertama dimulai dengan huruf vokal adalah...
=> huruf vokal yang terdapat : 3 huruf
S U K I N O
3 5 4 3 2 1
3 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 240 cara
3. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari angka 4,5 dan 8 apabila ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=> Puluhan : 3 huruf (4,5,8)
satuan : 3 huruf (4,5,8)
Puluhan X Satuan = 3 x 3 = 9
4. Kota A dan B dengan cara 3 jalan, kota B dan C dengan 2 jalan, sedangkan kota C dan D dengan 4 jalan. Banyaknya rute kota A ke D adalah...
=> A -> D = A-> B X B->C X C->D
3 . 2 . 4
24 rute
5. Banyaknya yang dapat disusun oleh 0,1,2,3,4,5,6,7 yang terdiri atas 4 angka adalah...
7 x 8 x 8 x 8 = 3584 angka
6. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari 4,5,8 apabila tidak ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=>
puluhan x satuan = 3 x 2 = 6
Ratusan x puluhan x satuan = 1 x 3 x 2 = 6
Soal dan Pembahasan Peluang kelas XI
1. Bila A; {2,3,4,5} dan B: {p,q,r,st}, maka banyak unsur dari A X B adalah...=> nA: 4
nB: 5
A X B = 4 X 5 = 20 unsur
2. Banyak susunan huruf yang mungkin dibentuk dari kata "SUKINO" apabila huruf pertama dimulai dengan huruf vokal adalah...
=> huruf vokal yang terdapat : 3 huruf
S U K I N O
3 5 4 3 2 1
3 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 240 cara
3. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari angka 4,5 dan 8 apabila ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=> Puluhan : 3 huruf (4,5,8)
satuan : 3 huruf (4,5,8)
Puluhan X Satuan = 3 x 3 = 9
4. Kota A dan B dengan cara 3 jalan, kota B dan C dengan 2 jalan, sedangkan kota C dan D dengan 4 jalan. Banyaknya rute kota A ke D adalah...
=> A -> D = A-> B X B->C X C->D
3 . 2 . 4
24 rute
5. Banyaknya yang dapat disusun oleh 0,1,2,3,4,5,6,7 yang terdiri atas 4 angka adalah...
Ribuan
|
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
7
|
8
|
8
|
8
|
6. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari 4,5,8 apabila tidak ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=>
Puluhan
|
Satuan
|
3
|
2
|
7. Diberikan setumpukan angka 0,1,2,3,4,5. Banyak plat nomor polisi
kendaraan yang dapat dibuat atas 3 angka dan boleh ada angka yang
berulang adalah...
=>
Ratusan x puluhan x satuan = 6 x 6 x 6 = 216 plat nomor
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
6
|
6
|
6
|
8. Dari angka 3,5,6,7 dibuat bilangan yang terdiri dari atas 3 angka berbeda. Diantara bilangan itu yang <400 ada sebanyak...
=>
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
1
|
3
|
2
|
9. Dari angka 1,2,3,4,5 akan dibuat bilangan <400 dan tidak ada yang berulang. Banyak bilangan tersebut adalah...
=>
Ratusan x puluhan x satuan = 3 x 4 x 3 = 36
Ratusan
|
Puluhan
|
Satuan
|
3
|
4
|
3
|
10. Dari kota A ke kota B ada 4 bus,
B ke C ada 3 bus, seseorang berangkat dari A ke C melalui B kemudian
kembali ke A melalui B. saat kembal dari A ke B. ia tidak mau
menggunakan bus yang sama,maka banyak cara yang dilakukan orang itu
adalah....
=> A -> C = 4 X 3 = 12
C -> A = 3 X 2 = 6
Pulang pergi A -> C adalah 12 x 6 = 72
11. Delapan orang memperebutkan juara I,II,III,dan harapan. Banyak posisi juara yang dapat terjadi adalah...
=> 8 x 7 x 6 x 5 = 1680 posisiV
0 komentar:
Posting Komentar